Analytische geometrie quadrat

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  • Was ist eine quadratischematrix?

    Es verstecken sich in so einer Matrix im allgemeinen zwei ONBs des Rn bzw. Cn. Daher vergeben wir für solche Matrizen einen eigenen Namen: Definition 118. Eine quadratische Matrix mit heißt im reellen Fall orthogonal, bzw. eine Orthogonalmatrix, im komplexen Fall unitär. Bemerkung 119.

  • Wie groß ist das quadratische Raster?

    1.18. ImBilduntenisteinBillard-Tischdargestellt.DasquadratischeRasterhatdieSeitenlänge 1dm. Die weiße Kugel und die schwarze Kugel haben beide den Durchmesserd= 57,2mm und liegen jeweils auf einem Gitterpunkt.(

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  • Wie sieht ein Quadrat aus?

    Das Quadrat
    Ein Quadrat ist das Speziellste aller Vierecke.
    Es hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel (α = 90°).
    Es ist damit gleichzeitig auch eine Raute, ein Rechteck, ein Parallelogram, ein Trapez und ein Drachen.

  • Wie weist man ein Quadrat nach?

    Nachweis.
    Du hast vier Punkte in einer Ebene gegeben, die ein Quadrat bilden.
    Um das nachzuweisen, musst du nur zeigen, dass alle Seiten gleichlang sind und zwei angrenzende Kantenvektoren einen 90°-Winkel einschließen.

  • sind alle vier Seiten gleich lang und das Parallelogramm ist eine Raute (ein Rhombus).

Analytische geometrie quadrat
Beim Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang, alle Winkel genau 90° und jeweils zwei Seiten parallel zueinander. Die Flächenformel des Quadrats lautet: A = a · a = a 2 .
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a) Zeige dass es einen Punkt gibt für den das Viereck ein Quadrat ist Bestimme die Koordinaten von b) Das Quadrat ist nun die Grundfläche einer 

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Analytische Geometrie / Vektorgeometrie 1.Bedingung Unter welchen Voraussetzungen gilt: j~s+~t+~uj=j~sj+j~tj+j~uj . 2.Gleiche Abstande Welcher Punkt der yz-Ebene mit der y-Koordinate 3 hat vom Ursprung (= Nullpunkt) und vom Punkt P(2j 2j 2) den gleichen Abstand? 3.Lucken fullen (a) Der Vektor~e2ist ein und verlauft der (b) Der hat die Lange 0 und (c) Der Losungsvektor der Subtraktion ~b~alauft von (d) Ein gerade, regelmassige 6-seitige Pyramide lasst sich mit Vektoren aufspannen. (e) Ein Vektor hat n Komponenten. 4.Vektorkonstruktion Zeichne 3 beliebige Vektoren~a;~b;~c.

Konstruiere den Vektor~emit der Bedingung: 2~a12 ~e=~b32 ~c 5.Lineare Abhangigkeit Gegeben sind die beiden Vektoren~aund~b.

Von einem dritten Vektor~ckennt man die x- und die z-Komponente.

Wie ist die y-Komponente von~czu wahlen, damit die drei Vektoren linear abhangig sind? ~a=0 @2 5 31 A ~b=0 @9 12 151 A ~c=0 @3 y 41 A 6.Luckentext (a) Ein ist ein Vektor mit der Lange 1. (b) Der hat die Lange 0 und (c) Das Skalarprodukt eines Vektors , entspricht seiner Lange (d) Die eines Punktes entsprechen den des Ortsvektors zu diesem Punkt. (e) Liegen drei Punkte A, B, C auf einer Geraden, so sind alle Vektoren zwischen je zwei der drei Punkte 7.Richtig oder Falsch? ind die folgenden 4 Behauptungen richtig oder falsch? (a) Der Vektor~a=0 @1 3 41 A hat die Dimension 3. (b) Die beiden Vektoren ~b=0 @2 6 101 A und~b=0 @2 6 101 A haben die gleiche Lange und sind deshalb gleich. (c) Wenn 3 Vektoren im 3-dimensionalen Raum eine Ebene aufspannen, dann konnen sie nicht linear unabhangig sein. (d) Drei 2-dimensionale Vektoren sind immer linear abhangig, sofern nicht zwei der Vektoren gleich lang sind. 8.Doppelter Abstand Welche Punkte der Geradey=xhab vonA(4j30) den doppelten Abstand wie vom Punkt B(16j 1)? 9.Punkt in der xz-Ebene Welche Punkte der xz-Ebene mit der z-Koordinate 3 hat von den PunktenO(0j0j0) und A(2j 2j 2) den gleichen Abstand? 10.Bestimmung einer Geradengleichung Bestimme die Parameter a und b der Geradengleichungy=ax+bso, dass die Gerade durch die PunkteA(7j9) undB(4j5) geht. 11.Geradengleichung Gesucht sind die Gleichungen der Geraden, welche durch den PunktP(2j 1) gehen und die y-Achse unter einem Winkel von 22.5 schneiden. 12.Gegenseitige Lage Gegeben sind die beiden Geraden g:~r(t) =0 @5 4 11 A +t0 @7 a 21 A h:~r(s) =0 @1 0 01 A +s0 @1 1 11 A Fur welchen Wert vonaschneiden sich die beiden Geraden? Gesucht sind ferner der Schnittpunkt und der Schnittwinkel. 13.Transversale Gegeben sind die beiden Geraden g:~r(t) =0 @2 2 71 A +t0 @1 3 61 A h:~r(s) =0 @4 1 61 A +s0 @6 0 11 A Wie lang ist die Transversale zwischen den beiden Geraden, welche einen Abstand von 4 von der yz-Ebene be ndet? (Nur eine Losung) 14.Gegenseitige Lage von Geraden Gesucht ist die gegenseitige Lage der Geraden g durch die beiden Punkte A(0j 1j10) undB(5j9j4) und der Geradenh:~r(t) =0 @8 15 21 A +t0 @5 10 61 A . 15.Parameter bestimmen Gegeben sind die Geraden g und h: g:~r(t) =0 @6 3 11 A +t0 @1 0 31 A h:~r(s) =0 @9 a 01 A +s0 @2 1 21 A Fur welchen Wert von a (a2IR) schneiden sich die beiden Geraden? 16.Sich schneidende Geraden Beweise, dass sich die Geraden g und h schneiden.

Berechne den Schnittwinkel. g:~r(t) =0 @1 6 01 A +t0 @1 2 11 A h:~r(s) =0 @3 1 11 A +s0 @1 1 21 A 17.Gerade schneidet Kugel Gegeben ist eine Kugel mit dem MittelpunktO(0j0j0) und dem Radius 6. Zudem eine Gerade durch die beiden PunkteA(4j7j 1) undB(4j 4j10).

Berechne die Durchstosspunkte der Gerade durch die Kugel. 18.Einige Winkel Gegeben sind die Gerade g, der Punkt P und der Vektor~v. g:~r(t) =0 @5 3 61 A +t0 @2 1 21 A P(2j4j1)~v=0 @1 0 11 A (a) Berechne den Neigungswinkel der Geraden g gebenuber der xy-Ebene. (b) Stelle dir eine Ebene vor, die durch den Punkt P und die Gerade g de niert ist.

Beweise, dass der Vektor~vsenkrecht auf dieser Ebene steht. 19.Punkt um Gerade drehen Gegeben ist die Gerade g und der Punkt P: g:~r(t) =0 @3 0 11 A +t0 @2 1 21 A P(9j3j .

1) Drehe den Punkt P um 180 um die Gerade g.

Gesucht sind die Koordinaten des Bildpunktes P'. 20.Kurzaufgaben (a) Erklare in einem Satz: Was bewirktt= 0 in der Gleichung~r=~rS+t~a (b) Gib die Parametergleichung der z-Achse an. (c) Mache zwei unterschiedliche Aussagen uber die gegenseitige Lage der Geraden g und h (ohne jegliche Rechnung) g:~r(t) =2 4 +t3 4 h:~r(s) =2 4 +s4 3 (d) Gib die Parametergleichung der Gerade 10x5y+ 30 = 0 an. (e) Gib die Parametergleichungen von 2 Geraden an, die beide durch den PunktP(1j2j3) gehen und senkrecht aufeinander stehen. (f) Wie lauten die Koordinatengleichungen der Geraden (im 2D), die die x-Achse unter einem Winkel von 60 schneiden und durch den PunktP(4j6) gehen? 21.Kurzester Abstand zweier Geraden Gegeben sind die beiden Geraden g 1:~r() =0 @14 4 01 A +0 @2 0 11 A g 2:~r() =0 @15 0 41 A +0 @2 1 01 A (a) Wie lauten die Koordinaten der Endpunkte des kurzesten Abstandes der beiden Geraden? (b) Alle Punkte, welche von den beiden Ebenen den gleichen Abstand haben, liegen auf einer Ebene.

Wie lautet eine Koordinatengleichung der Ebene? 22.Zwei Geraden Es ist mit Vektoren zu beweisen, dass die Gerade g durch die PunkteA(3j2j5) undB(3j2j7) und die Gerade h durch die PunkteC(9j2j3) undD(12j2j2) die gleiche Gerade darstellen. 23.Zwei Geraden Gegeben sind die PunkteA(1j2j6) undB(5j6j2) sowie die Gerade g:~r(t) =0 @4 3 61 A +t0 @1 1 51 A (a) Es ist zu zeigen, dass die Gerade g und die Gerade h(AB) windschief sind. (b) Gesucht ist der Punkt C auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist, mit der Basis AB. 24.Schnittpunkt Gegeben sind die beiden Geraden g:~r(t) =0 @1 0 01 A +t0 @2 1 21 A undh:~r(s) =0 @4 6 11 A +s0 @1 4 31 A Es ist zu zeigen, dass sich die beiden Geraden schneiden.

Wie lauten die Koordinaten des Schnittpunk- tes? 25.Rechtwinkliges Dreieck Gegeben sind die PunkteA(2j 2j3) undB(1j 4j5) sowie die Gerade g:~r(t) =0 @5 2 11 A +t0 @0 1 11 A Es ist zu zeigen, dass fur alle Punkte P auf g das Dreieck ABP rechtwinklig ist. 26.Kleinster Abstand Gegeben sind die PunkteO(0j0j0) undP(2j2j1) sowie die Gerade g:~r(t) =0 @0 1 11 A +t0 @1 1 11 A (a) Fur welchen Punkt R der Geraden g ist der Winkel POR = 60 ? (b) Welcher Punkt A der Gerade g hat von O den kleinsten Abstand? 27.Transversale Gegeben sind die beiden Geraden g:~r(t) =0 @u 50 01 A +t0 @0 1 71 A h:~r(s) =0 @2u 49 01 A +s0 @5 0 51 A (a) Fur welche Werte von u sind g und h windschief? (b) Wie lang ist jene Transversale zwischen g und h, die in der xy-Ebene verlauft? (In Abhangigkeit von u!) 28.Schneidend Gegeben sind die PunkteA(2j 1j 3) undB(3j 1jz) und die Gerade g:~r(t) =0 @1 3 01 A +t0 @1 2 11 A Wie ist z zu wahlen, damit sich g und h(AB) schneiden? 29.Ebenenschar Gegeben sind die PunkteA(3kj0j0),B(k+ 2jkj1) undC(5k2j1jk). (a) Fur welche Werte des Parameterskbestimmen die drei Punkte eine EbeneEk? (b) Es soll gezeigt werden, dass alle EbenenEkparallel sind. (c) Wie gross ist der 1.

Neigungswinkel der Ebenen? 30.Gegenseitige Lage dreier Ebenen Gegeben sind die drei Ebenen mit den Koordinatengleichungen E 1:xy+z= 2 E 2: 2x+y+az= 0 E 3:x+ayz= 1 Welche gegenseitige Lage haben die Ebenen in Abhangigkeit vom Parametera? 31.Schnitt zweier Ebenen Gegeben sind die Ebenen E 1fA(8j4j1)B(5j 4j4)C(0j0j9)g E 2fD(5j 2j8)E(4j5j6)F(1j0j0)g . (a) Wie lauten die Koordinatengleichungen der beiden Ebenen? (b) Wie lauten die Koordinaten zweier Punkte der Schnittgeraden der beiden Ebenen? (c) Auf welches Problem lasst sich die Berechnung der Schnittgeraden zweier Ebenen reduzieren? 32.Gegenseitige Lage zweier Ebenen Gegeben sind die beiden Ebenen E 1fA(0j1j0);B(0j0j 1);C(2j0j0)g E 2: 2x+y10 = 0 (a) Liegt der PunktP(2j4j6) auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen? (b) Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Ebenen? (c) In welchen Punkten durchstosst die GeradegfU(4j5j7);V(6j6j12)gdie beiden Ebenen? (d) Wie gross ist der 2.

Neigungswinkel (Winkel gegenuber deryz-Ebene) der EbeneE2? 33.Ebenen Gegeben sind die drei PunkteA(3j2j3),B(7j 2j 2) undC(4j4j4). (a) Wie lautet die Koordinatengleichung der EbeneE(ABC)? (b) Wie lautet die Gleichung jener Geraden g, die durch den PunktP(9j 8j7) geht und senkrecht zur Ebene E steht? (c) Gesucht ist die Koordinatengleichung einer Ebene, die die z-Achse enthalt und senkrecht zu E steht. 34.Schnitt zweier Ebenen Gegeben sind die beiden Ebenen E 1(;) :~r=0 @6 2 31 A +0 @1 1 01 A +0 @0 8 31 A E 2: 2x+ 3y+ 2z18 = 0 Gesucht ist eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden der beiden Ebenen. 35.

5) Ebenen Gegeben sind die 5 Ebenen:x= 3x=2z= 0y=1 2y+z2 = 0 (a) Die Situation ist zu skizzieren. (b) Die 5 Ebenen umschliessen einen Korper.

Wie gross ist sein Volumen? 36.Parallele Ebenen Gegeben sind die beiden Ebenen E 1(u;v) :~r=0 @1 1 21 A +u0 @5 3 6:51 A +v0 @2 4 41 A E 2(s;t) :~r=0 @0 0 01 A +s0 @1 2 21 A +t0 @a 1 2:51 A Wie ist a zu wahlen, damit die beiden Ebenen parallel sind? 37.Ebene und Durchstosspunkt Gegeben ist die Ebene E durch die PunkteA(3j2j5),B(5j2j1) undC(1j 5j 5), sowie die Ebene F durch den PunktR(13j 10j6) und durch die Gerade g:~r(t) =0 @9 0 101 A +t0 @1 1 31 A . (a) Wie lauten die Koordinatengleichungen der Ebenen E und F? (b) In welchem Punkt durchstosst die Gerade g die Ebene E? (c) Wie lautet die Gleichung der Schnittgeraden s der Ebenen E und F? 38.Abgeschnittene Pyramidenspitze Eine gerade, quadratische Pyramide ABCDS wird von einer Ebene(EFHK) geschnitten. (a) Wie gross ist das Volumen der Pyramide? (b) Wie lauten die vollstandigen Koordinaten der Punkte E, F und H? (c) Wie lautet die Koordinatengleichung der Ebene? (d) Wie lauten die Koordinaten des Punktes K? 39.Kreis und Kreissehne Gegeben sind der Kreisk:x2+y2+ 4x2y20 = 0 sowie die Geradeg:x+ 2y= 5.

Gesucht ist der Mittelpunkt und der Radius von k, sowie die Lange der Sehne, die k aus g herausschneidet. 40.Kreisgleichung gesucht Bestimme die Gleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt auf der Geraden g:y=12 x+72 liegt und der durch die PunkteA(2j5) undB(1j 2) geht. 41.Kleinste Kugel zwischen zwei Kugeln Gegeben sind die beiden Kugeln k 1:x2+y2+z2+ 10x20y20z+ 81 = 0 k 2:x2+y2+z26x+ 12y+ 12z+ 72 = 0 Bestimme die Gleichung der kleinsten Kugel, die die Kugelnk1undk2beruhrt. 42.Gegenseitige Lage von Kugeln Gegeben sind die beiden Kugeln: K1 :x2+y2+z230x24y48z+ 216 = 0 K2 :x2+y2+z214x20y16z+ 132 = 0 (a) Berechne die Mittelpunkte und Radien der Kugeln. (b) Bestimme die gegenseitige Lage der beiden Kugeln. 43.Kugelgleichung gesucht Gesucht gesucht sind die Gleichungen der beiden Kugeln mit den folgenden Eigenschaften: Der Radius misst 5.

Der Mittelpunkt hat positive y-Koordinate. Die Kugel beruhrt die xy-Ebene. Die Kugel schneidet die xz-Ebene in einem Kreis mit Radius 3.

Der PunktP(2j2(2 +p2)j6) liegt auf der Kugelober ache. 44.Bewegung eines Punktes Ein Punkt startet zur Zeitt= 0 und bewegt sich gemass der Vorschrift ~s(t) =0 @cost sint sin 2(3t)1 A ~s(t) ist also der Ortsvektor des Punktes zur Zeitt. (a) Gefragt ist eine Skizze der Bahnkurve des Punktes in einem Schragbild. (b) Wann hat der Punkt die grosste Geschwindigkeit? 45.Bewegung eines Punktes im Raum Ein Punkt startet zur Zeitt= 0 und bewegt sich gemass der Vorschrift ~s(t) =0 @sint 2cost sin2t1 A (a) Wie sieht die Bahnkurve aus? (Skizze und Beschreibung in Worten) (b) Zu welchen Zeiten ist der Punkt am weitesten von (0j0j0) entfernt? (c) Welche Geschwindigkeit hat der Punkt zur Zeitt= 5? 46.Quadrat Von einem Quadrat ABCD kennt man die Seitenlanges=p130 und die EckeA(3j8). Zudem weiss man, dass die Diagonale AC in Richtung des Vektors ~d=8 1 verlauft.

Gesucht sind die Koordinaten der Ecken B, C und D. 47.Winkel und Flache Die beiden Vektoren~a=0 @3 0 11 A und~b=0 @0 2 31 A spannen ein Dreieck auf. (a) Wie gross sind die Winkel des Dreiecks? (b) Welche Flache hat das Dreieck? 48.Trapez Von einem Trapez kennt man die EckenA(2j2),B(38j2) undC(27j17) sowie die FlacheA= 420. (Achtung: Beschriftung im Gegenuhrzeigersinn, Parallelseiten AB und CD) (a) Wie lauten die Koordinaten der Ecke D? (b) Wie gross sind die 4 Innenwinkel des Trapezes? 49.Lange 9 Gegeben sind die beiden Vektoren:~a=0 @2 4 91 A und~b=0 @1 8 131 A .

Welcher Vektor~cmit der Lange 9 steht auf~aund auf~bsenkrecht? 50.Blickwinkel Von welchen Punkten derx-Achse aus sieht man die StreckeA(2j3j1)B(6j 9j7) unter einem rechten Winkel? Von welchen Punkten aus unter einem Winkel von 60 ? 51.Senkrecht Gegeben sind die PunkteA(0j0j0),B(3j0j6),C(1j6j2) undD(52kj1jk).

Es ist zu zeigen, dass fur alle k2IRdie Vektoren~ABund~CDsenkrecht aufeinander stehen. 52.Regulares Tetraeder Es ist mit Hilfe des Skalarproduktes zu beweisen, dass bei einem regularen Tetraeder zwei Kanten ohne gemeinsame Punkte (windschief-)senkrecht aufeinander stehen. 53.Punkt im Polygon - Test Liegt der PunktP(2:25j0:75j3:25) innerhalb der Dreiecks ache mit den Eckpunkten A(2j 1j3)B(4j5j0)C(1j0j7)? 54.60-Winkel Gegeben sind die PunkteA(2j1j3) undB(1j1j0).

Bestimme alle Punkte C in der xz-Ebene, so dass C die Entfernung BC geradep2 ist und der Winkel ABC 60 betragt. 55.Ungleichung Beweise: Fur zwei beliebige Vektoren~aund~bgilt ~a~b 2~a2~b2 56.Thaleskreis Beweise mit Hilfe der Vektorrechnung die folgende Eigenschaft des Thaleskreises: Liegt ein einem Dreieck ABC der Punkt C auf dem Kreisbogen des Kreises mit dem Durchmesser AB, so ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel beim Punkt C. 57.Parallelogramm Von einem Parallelogramm kennt man die EckenA(3j5j6) undB(2j 1j0) sowie D(5j 6j 2).

Berechne den spitzen Schnittwinkel der Diagonalen sowie den Flacheninhalt des Parallelogramms. 58.Dreiecksberechnungen Gegeben ist das DreieckA(